代数结构与数理逻辑（下半学期）

一、环

1. 定义

环：

• 加法是交换群

• 乘法满足分配律

结合环：乘法额外满足结合律，即乘法是半群

考试中涉及的环，都是默认有结合律和乘法幺元的

2.性质

设 \((R,+,\cdot)\) 是环，\(a,b \in R\)，则

• \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\)
• \(a \cdot (-b) = -(ab),\quad (-b)\cdot a = -ba\)

3. 子环

定义 14.6 \([R;+,\cdot]\) 为环，\(S \subseteq R\)，\(S \ne \varnothing\)，当 \([S;+,\cdot]\) 是环时，称它为 \(R\) 的子环。特别在 \(S=R\) 或 \(S=\{0\}\) 时称它为 \(R\) 的平凡子环，否则称为 \(R\) 的非平凡子环。当 \(S\) 是 \(R\) 的真子集时，称 \(S\) 为 \(R\) 的真子环。

也就是说，子环不要求包含原来的乘法幺元

根据定义知，\([\mathbb{Z};+,\cdot]\) 是 \([\mathbb{Q};+,\cdot]\) 的真子环，而 \(\mathbb{Q}\) 又是 \(\mathbb{R}\) 和 \(\mathbb{C}\) 的真子环，此处的 \(\mathbb{R}\) 是指实数域。由于环是建立在群与半群的基础上的，所以上一章所证明的有关子群的等价定义可以引入子环中，得到相应的子环的等价定义，在此介绍其中之一。

定理 14.3 \([R;+,\cdot]\) 为环，\(S \ne \varnothing\)，\(S \subseteq R\)，\([S;+,\cdot]\) 是 \(R\) 的子环，当且仅当，对任 \(a,b \in S\)：

（1）\(a+b \in S\)

（2）\(-a \in S\)

（3）\(a \cdot b \in S\)

证明： 必要性显然成立。

充分性：由（1）（2）知 \([S;+]\) 为 \([R;+]\) 的子群，由（3）知 \(S\) 关于乘法 \(\cdot\) 封闭，显然满足结合律，\([S;\cdot]\) 为半群；\(S \subseteq R\)，\(\cdot\) 关于 \(+\) 在 \(S\) 上亦满足分配律，\([S;+,\cdot]\) 为环，是 \(R\) 的子环。\(\square\)

同时暗含子环一定包含零元

二、一元形式幂级数

1.一元形式幂级数：

F是域，\(F[[X]]=\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i,\forall a_i \in F\)就是F上的一元形式幂级数，它是有幺元的结合环，且乘法满足结合律

幺元：\((1,0,0,0,...)\)；\(x\)：\((0,1,0,0,...)\)，\(x^m=(0,0,0,...,1,0,0,0...)\)，1前面有m个0

可逆元\(\iff\)\(\alpha_0 \ne 0\)，也就是第一位不能为0

这里的x不是未知数，只是占位符

\(1-x=(1,-1,0,0,0...)\)

\((1-x)^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty} x^i\)

2. 多项式

有限位的一元形式幂级数

对 \(\alpha \in F^N\)，若 \(\exists m \in \mathbb{N}\)，使 \(\forall i \ge m\)，都有 \(\alpha_i = 0\)，则 \(\alpha\) 的非零分量只有有限个，则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的一元多项式。定义次数：\(deg=m\)

\(F[x] = \{\alpha \mid \alpha \text{ 是 } F \text{ 上的一元多项式}\}\)

特别规定\(deg(0)=-\infty\)

三、环的理想、商环

1. 理想

令 \(I \subseteq R\)，若 2 个条件成立：

1. \(I\) 是 \((R,+)\) 的子群，即\(I \ne \varnothing\)且\(\forall a,b \in I,\quad a+b \in I,\quad -a \in I\)
2. 吸收律：\(\forall a \in I,\quad \forall u \in R,\quad ua \in I,\quad au \in I\)

平凡的理想：\((R,+,\cdot)\)，\(\{0\}\) 和 \(R\) 是它的理想。

2. 商环

定义：设 \((R,+,\cdot)\) 是环，\(I\) 是 \((R,+,\cdot)\) 的理想，在 \(R/I\) 上定义两个二元运算 “\(+\)”，“\(\times\)”： \(\forall a,b \in R,\quad (a+I)+(b+I)=(a+b)+I.\) \(\forall a,b \in R,\quad (a+I)\times(b+I)=ab+I.\)

则 “\(+\)” 和 “\(\times\)” 都是合理定义的，且 \((R/I,+,\times)\) 构成环，称为 \((R,+,\cdot)\) 对 \(I\) 的商环。

商环\(F[X]/I\)的幺元就是\(1+I\)

3. 多项式上理想的重要性质

定理：设 \(g \in F[x]\)，则 \(\{qg \mid q \in F[x]\}\) 是 \(F[x]\) 的理想。

定理：设\(I\) 是 \(F[x]\) 的理想，则 \(\exists g \in F[x]\)，s.t. \(I=\{qg \mid q \in F[x]\}\)。

定理：\[F[x]/I \text{ 是域 } \iff g \text{ 是 } F \text{ 的不可约多项式}\]

4. 通过理想得到环同态（有限域构造）

1. 通过理想得到商环

\((F,+,\cdot)\) 域，设 \(g \ne 0\)，\(\deg(g)=m\)。

商环：\(F[x]/I=\{f+I \mid f \in F[x]\}\)\(=\{r+I \mid r \in F[x],\ \deg(r)\le m-1\}\)

对 \(\forall f \in F[x]\)，\(f+I=r+I\)，r为f对g做带余除法的余式

2.通过商环得到域（有限域构造）

设 \(deg(g) = m \ge 0\)，\(R = \{f \mid f \in F[x], deg(f) \le m-1\}\) 在 R 上定义二元运算 “+”，“\(\otimes\)”

• “+”：多项式加法，
• \(\otimes\)：\(f \otimes h = (fh 对 g 做带余除法的余式)\)

则\((R, +, \otimes)\) 是环，且 \(R \cong F[x]/I\)，其中 \(I = \{qg \mid q \in F[x]\}\) 具体而言，\(\psi: F[x] \rightarrow R\)，\(\psi(f) = (f 对 g 做带余除法的余式)\)

\(ker(\psi) = \{f \in F[x] \mid \psi(f) = 0\} = \{f \in F[x] \mid g \mid f\} = I\) \(Im(\psi) = R\) \(\therefore R \cong F[x]/I\) (同态定理)

例：商环构造扩域\((R\rightarrow C)\):

\(F=\mathbb{R}\)，\(g=x^2+1\)，\(I=\{(x^2+1)q \mid q \in F[x]\}\)。

将 \(f\) 对 \((x^2+1)\) 做带余除法：\(f=(x^2+1)q+ax+b\)

因为 \((x^2+1)q \in I\)，所以：\(f+I=(ax+b)+I\)

所以 \(F[x]/I\) 同构于 \((\mathbb{C},+,\cdot)\)。

这种同构可以理解为把 \(x\) 看作 \(\sqrt{-1}\)：

\((ax+b)+I \Longleftrightarrow b+a\sqrt{-1}\)

\(x+I \Longleftrightarrow \sqrt{-1}\)

四、环同态、环同构、主理想环

1. 环同态

定义：设 \((R,+,\cdot)\) 和 \((S,+,\cdot)\) 是环，\(f:R \to S\)，若：

\(\forall a,b \in R\)，有 \(f(a+b)=f(a)+f(b)\)，\(f(ab)=f(a)f(b)\)，

则称 \(f\) 是环同态。

当R ′ ⊆ R时，称 R 到 R′的同态为自同态，同构为自同构。自同构的R和R’不一定相等

同态一定会把0映射到0；课上讲的同态不需要1映射到1

2. 环同构

环同构：若 \(f\) 不仅是环同态，还是 \(R\) 到 \(S\) 的双射，则称 \(f\) 是 \((R,+,\cdot)\) 到 \((S,+,\cdot)\) 的环同构。

同态：一般指那个映射函数

同构：即指函数也指环

3. 环同态基本定理

定理：设 \((R,+,\cdot)\) 和 \((S,+,\cdot)\) 是环，\(f:R \to S\) 是环同态，则 \(\ker(f)\) 是 \((R,+,\cdot)\) 的理想。

定理：设 \((R,+,\cdot)\) 和 \((S,+,\cdot)\) 是环，\(f:R \to S\) 是环同态，记 \(I=\ker(f)\)，考虑商环 \((R/I,+,\cdot)\)，其中：

• \(\forall a,b \in R\)，\((a+I)+(b+I)=(a+b)+I\)(商环定义)

• \((a+I)(b+I)=ab+I\)(商环定义)

定义 \(\varphi:R/I \to S\)：\(\forall a \in R\)，\(\varphi(a+I)=f(a)\)。

则 \(\varphi\) 是 \((R/I,+,\times)\) 到 \((S,+,\cdot)\) 的环同态，且 \(\varphi\) 是单射（\(f\) 不用是单射）。

且 \(\operatorname{Im}(\varphi)=\operatorname{Im}(f)\)。

特别地，若 \(\operatorname{Im}(f)=S\)，则 \(\varphi\) 是环同构。

4. 主理想环

取 \(\forall I\) 是 \(R\) 的理想，总存在 \(u \in R\)，s.t. \(I=Ru\)，则称 \((R,+,\cdot)\) 是主理想环。

\(F[x]\)就是主理想环

五、环的分类

1. 交换环：乘法满足交换律
2. 整环：只要a和b不是0，ab就不是0
3. 除环：只要a不是0，就存在非零逆元b
4. 域：交换的除环

性质：

1. 整环满足消去律
2. 除环是整环
3. 域\(\subset\)除环\(\subset\)整环（除环可以推出整环）
4. 有限整环是除环（不考，不能直接用）
5. 有限除环是域（即有限除环可以推出乘法交换律成立；不能直接用）

六、带余除法

1. 整数相关

定理：任意正整数都能写成若干素数的乘积，且此分解唯一

2. 多项式相关

I 整除

1. 整除（定义）：设 \(f,g \in F[x]\)，若 \(\exists h \in F[x]\)，s.t. \(g=fh\)，则称 \(f\) 是 \(g\) 的因式，\(g\) 是 \(f\) 的倍式，记作 \(f \mid g\)。

   整除不要求\(f\ne0\)

2. 带余除法（定理）：设 \(f \in F[x]\)，\(f \ne 0\)，\(g \in F[x]\)，则存在唯一一对 \(F[x]\) 中的多项式 \((q,r)\)，s.t. \(g=qf+r\)，且 \(\deg(r)<\deg(f)\)，\((f \mid g \Longleftrightarrow r=0)\)

   带余除法要求\(f\ne0\)

3. 余式定理：设 \(g \in F[x]\)，\(a \in F\)，则 \(g(a)=0 \Longleftrightarrow (x-a)\mid g\)。

4. 推论：设 \(g \in F[x]\)，\(\deg(g)=n \ge 0\)，则 \(g\) 在 \(F\) 中至多有 \(n\) 个根。

5. 代数基本定理：复数域 \(\mathbb{C}\) 上的任一非零多项式，都能分解成一次因式的乘积。

II 公因式

6. 定义（公因式）：设 \(f,g \in F[x]\)，\(h \in F[x]\)。

​ 若 \(h \mid f\)，\(h \mid g\)，则称 \(h\) 是 \(f\) 和 \(g\) 的公因式。

7. 定义（最大公因式）：设 \(f,g \in F[x]\)，则 \(f\) 和 \(g\) 的最大公因式 \(h\) 定义为：

   1. 若 \(f=g=0\)，则令 \(h=0\)。

   2. 若 \(f\) 和 \(g\) 不全为 \(0\)，则 \(h\) 由下述性质确定：

      1. \(h \mid f\)，\(h \mid g\)。

      2. 对 \(f\) 和 \(g\) 的任意公因式 \(h_1\)，总有 \(h_1 \mid h\)。

      3. \(h\) 的首项系数为 \(1_F\)。若 \(\deg(h)=m\)，则 \(h_m=1_F\)。

      iii是为了与整数最大公因数的定义一样，限制其唯一性。

计算出来结果之后一定要让首项系数为1

8. 引理：设 \(f,g \in F[x]\)。

   1. \(\forall a \in F,\ a \ne 0\)：\(a \mid f\)，\(af \mid f\)，\(f \mid af\)。

   2. 若 \(f \mid g\)，\(g \mid f\)，则 \(\exists a \in F,\ a \ne 0\)，s.t. \(g=af\)。

   思路：\(\deg(fg)=\deg(f)+\deg(g)\)

9. 命题：设 \(f,g \in F[x]\)，则存在 \(u,v \in F[x]\)，s.t.

   \((uf+vg)\mid f\)，\((uf+vg)\mid g\)

10. 定理：设 \(f,g \in F[x]\)，则 \(f\) 和 \(g\) 的最大公因式存在且唯一。

    若设 \(h\) 为 \(f\) 和 \(g\) 的最大公因式，则 \(\exists u,v \in F[x]\)，s.t. \(h=uf+vg\)。

    知道结论即可，不用会证

III 不可约多项式

1. 定义（不可约多项式）：设 \(f \in F[x]\)，\(\deg(f) \ge 1\)。

   若 \(\forall h \in F[x]\)，\(h \mid f\)，总存在 \(a \in F\)，\(a \ne 0\)，s.t. \(h=a\) 或 \(h=af\)，则称 \(f\) 是 \(F\) 上的不可约多项式。

   （即对 \(\forall h \in F[x]\)，只要 \(1 \le \deg(h) \le \deg(f)-1\)，则 \(h \nmid f\)。）

2. 命题：设 \(f \in F[x]\) 是不可约多项式，\(g \in F[x]\)，则下 2 个情况之一成立：

   1. \(f \mid g\)

   2. \(\gcd(f,g)=1_F\)

3. 命题：设 \(f,g,h \in F[x]\)，\(\gcd(f,g)=1_F\)，\(f \mid gh\)，则 \(f \mid h\)。

4. 推论：设 \(f \in F[x]\) 是不可约多项式，\(g,h \in F[x]\)，\(f \mid gh\)，则 \(f \mid g\) 或 \(f \mid h\)。

5. 定理：\(F[x]\) 中任一首项系数为 \(1_F\) 的多项式都能写成若干个首项系数为 \(1_F\) 的不可约多项式之积且不计顺序，则此分解式是唯一的。

七、分式域

设 \((R, +, \cdot)\) 是交换的整环，\(1_R\) 为乘法么元，如下构造 \(R\) 的分式域：

1. 在 \(R \times (R - \{0\})\) 上如下定义等价关系 \(\sim\)： \((a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow ad = bc\)， \(\forall (a, b) \in R \times (R - \{0\})\)，记 \(\frac{a}{b} =\) \(\{ (c, d) \mid (c, d) \in R \times (R - \{0\}), (c, d) \sim (a, b) \}\)， 记 \(F = \{ \frac{a}{b} \mid a \in R, b \in R, b \ne 0 \}\)

2. 在 \(F\) 上定义加法 “\(\oplus\)” 和乘法 “\(\otimes\)” \(\frac{a}{b} \oplus \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\) ，\(\frac{a}{b} \otimes \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\) 则 \(\oplus\) 和 \(\otimes\) 都是合理定义的，并且 \((F, \oplus, \otimes)\) 都是域，其中：

   1. “\(\oplus\)” 下的幺元为 \(\frac{0}{1_R}\)
   2. “\(\otimes\)” 下的幺元为 \(\frac{1_R}{1_R}\)
   3. 对 \(a, b \in R - \{0\}\)， \(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{1_R}{1_R}\) ，即 \(\frac{a}{b}\) 与 \(\frac{b}{a}\) 互为逆元

3. 如下定义 \(\psi: R \rightarrow F\) , \(\psi(a) = \frac{a}{1_R}\) , \(\forall a \in R\). 则 \(\psi\) 是单的环同态，且 \(\psi(1_R) = \frac{1_R}{1_R}\) 此时，\(\forall a, b \in R\) , \(b \ne 0\) , \(\frac{a}{b} = \psi(a)[\psi(b)]^{-1}\) 将 \(a\) 和 \(\frac{a}{1_R}\) 等同看待：\(R \leftrightarrow \{ \frac{a}{1_R} \mid a \in R \}\)

4. 等价关系 \((a, b) \sim (c, d)\)： 若 \((a, b) \sim (c, d)\)，则 \((c, d) \sim (a, b)\)：

   若 \((a, b) \sim (c, d)\)，\((c, d) \sim (u, v)\)，则 \((a, b) \sim (u, v)\)

八、向量空间

\(F^n\) 有多少个 \(m\) 维子空间？(\(0 \le m \le n\))，\(|F|=q\) \(\begin{aligned} \begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q &= \frac{M_{m,n}(F) 中秩为 m 的矩阵个数}{F 中 m 阶可逆方阵的个数} \\ &\text{即找 m 个基向量，除以其线性变换的可能性} \\ &= \frac{\prod_{i=0}^{m-1}(q^n - q^i)}{\prod_{i=0}^{m-1}(q^m - q^i)} \\ &= \frac{(q^0 \cdot q^1 \cdot \dots \cdot q^{m-1}) \prod_{i=n-m+1}^{n}(q^i - 1)}{(q^0 \cdot q^1 \cdot \dots \cdot q^{m-1}) \prod_{i=1}^{m}(q^i - 1)} \\ &= \frac{\prod_{i=1}^{n}(q^i - 1)}{\prod_{i=1}^{m}(q^i - 1) \cdot \prod_{i=1}^{n-m}(q^i - 1)} \end{aligned}\)

类似 \(C(n,m) = \frac{n!}{m!(n-m)!}\) 且 \(\lim_{q \rightarrow 1^+} \begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q = C(n,m)\) 因为：\(\lim_{q \rightarrow 1^+} \frac{q^i - 1}{q - 1} = \lim_{q \rightarrow 1^+} (1 + q + q^2 + \dots + q^{i-1}) = i\)

九、子域

定义（子域）：设 \((E, +, \cdot)\) 是域，\(F \subseteq E\)， 若下面四个条件成立： (1) \(0 \in F\)，\(1_E \in F\) (2) \(\forall a, b \in F\)，\(a+b \in F\)，\(-a \in F\)，\(ab \in F\) (3) \(\forall a \in F\)，\(a \ne 0\)，有 \(a^{-1} \in F\) （\(F\) 是子域 \(\Leftrightarrow (F, +, \cdot)\) 做成域）

十、代数元、超越元

1. 定义

代数元，超越元：设 E 是域，\(F \subseteq E\) 是子域，\(u \in E\)

1. 若存在 \(f \in F[x]\)，\(f \ne 0\)，（即 \(F[x]\) 上的一个非零多项式） s.t. \(f(u) = 0\)，则称\(u\) 是 F 上的代数元 （即 u 是 f 的根）
2. 若对任意 \(F[x]\) 中的非 0 多项式 f，总有 \(f(u) \ne 0\)， 则称 u 是 F 上的超越元

性质：对于超越元\(u\)，\(f(u)=0 \iff f=0\)

2. 域扩张

\(E\)：域，\(F \subseteq E\) 是子域，\(u \in E\)。\(E\) 中包含 \(F\) 和 \(u\) 的最小子域，记为 \(F(u)\)

有 \(F(u) = \{ f(u)g(u)^{-1} \mid f, g \in F[x], g(u) \neq 0 \}\) \[= \left\{ \frac{f(u)}{g(u)} \;\middle|\; f, g \in F[x], g(u) \neq 0 \right\}\]

定理：设 \(E\) 是域，\(F\) 是 \(E\) 的子域，\(u \in E\) 是 \(F\) 上的超越元，则：

1. \(F(u) = \{ f(u)g(u)^{-1} \mid f, g \in F[x], g \neq 0 \}\)

2. 设 \(f_1, f_2, g_1, g_2 \in F[x], g_1 \neq 0, g_2 \neq 0\)，则：

\[f_1(u)g_1(u)^{-1} = f_2(u)g_2(u)^{-1} \iff f_1g_2 = f_2g_1\]

定理：\(u\) 是 \(F\) 上的代数元，记 \(I = \{ f \mid f \in F[x], f(u) = 0 \}\)， 则 \(I\) 是 \(F[x]\) 的理想

作业题

0. 特殊符号

1. P(S) 表示集合 S 的所有子集组成的集合，叫做 幂集

2. \(Z_n\) 表示整数模 n 的剩余类环，需要注意只包含正数，尤其是辗转相除中

3. 对称差是两个集合之间的一种运算，通常记作 \(A \oplus B\) 或 \(A \triangle B\)。

   它的定义是： \[A \oplus B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\] 也可以写成： \[A \oplus B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\] 意思是：只属于其中一个集合，而不同时属于两个集合的元素组成的集合。

4. 幂集的乘法一般是交集

1. 不同构证明

你的感觉是对的：证明同构通常靠构造；证明不同构通常靠找“不变量”。

所谓“不变量”就是：如果两个结构同构，那么某些性质必须一样。比如群里常用元素阶；环里常用：

• 有没有乘法单位元；
• 元素个数、单位元、零因子、幂零元、幂等元、特征、理想结构、可逆元个数、元素阶

这题第二问最方便的不变量是：有没有乘法单位元。

2. 找出全部同态（同构）映射

• 环自身的性质：加法循环群；实数与虚数互相不互通

  这些性质都有关键元素，针对这些关键元素下手往往比较有效

  循环群：生成元

  实数：1；虚数：\(i\)

• 同态的性质：加法和乘法先算与后算相同，得到两个等式，可以解方程

  \(f(x+y)=f(x)+f(y)\)

  \(f(xy)=f(x)f(y)\)

• 相较于同态的额外性质：

  比如满射

3. 因子分解

首先看是不是域，如果是域的话，所有数都有逆元，因此可以提取公因式，使得最终只用保留首一多项式即可。

因此，遇到一个式子，不是首一的先提取首项系数，然后“不妨设”首一。

当然，首先验证(x-a)是不是因子，这是最基本的

待整理？

有限会带来哪些性质