代数结构与数理逻辑

零、宗旨

从评卷者的角度思考，哪些是踩分点。不要陷入无限的纠结细节之中

极小多项式、最大公因式要注意首一

\(F_n\)注意不能出现负系数

一、环

1. 定义

环：代数结构 \((R,+,\cdot)\)，其中 \(+\) 和 \(\cdot\) 是 \(R\) 上的二元运算。

如果：

1. \((R,+)\) 是交换群；

2. \(\forall a,b,c\in R\)，满足分配律：

   \[ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c \]

   \[ (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a \]

则称 \((R,+,\cdot)\) 是一个环。

证明时：

• 加法群：非空，封闭，结合律，存在幺元，所有元素存在逆元
• 乘法：封闭，分配律

结合环：乘法额外满足结合律，即乘法是半群

考试中涉及的环，都是默认有结合律和乘法幺元的

2.性质

设 \((R,+,\cdot)\) 是环，\(a,b \in R\)，则

• \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\)
• \(a \cdot (-b) = -(ab),\quad (-b)\cdot a = -ba\)

3. 子环

定义 14.6 \([R;+,\cdot]\) 为环，\(S \subseteq R\)，\(S \ne \varnothing\)，当 \([S;+,\cdot]\) 是环时，称它为 \(R\) 的子环。特别在 \(S=R\) 或 \(S=\{0\}\) 时称它为 \(R\) 的平凡子环，否则称为 \(R\) 的非平凡子环。当 \(S\) 是 \(R\) 的真子集时，称 \(S\) 为 \(R\) 的真子环。

也就是说，子环不要求包含原来的乘法幺元

根据定义知，\([\mathbb{Z};+,\cdot]\) 是 \([\mathbb{Q};+,\cdot]\) 的真子环，而 \(\mathbb{Q}\) 又是 \(\mathbb{R}\) 和 \(\mathbb{C}\) 的真子环，此处的 \(\mathbb{R}\) 是指实数域。由于环是建立在群与半群的基础上的，所以上一章所证明的有关子群的等价定义可以引入子环中，得到相应的子环的等价定义，在此介绍其中之一。

定理 14.3 \([R;+,\cdot]\) 为环，\(S \ne \varnothing\)，\(S \subseteq R\)，\([S;+,\cdot]\) 是 \(R\) 的子环，当且仅当，对任 \(a,b \in S\)：

（1）\(a+b \in S\)

（2）\(-a \in S\)

（3）\(a \cdot b \in S\)

证明： 必要性显然成立。

充分性：由（1）（2）知 \([S;+]\) 为 \([R;+]\) 的子群，由（3）知 \(S\) 关于乘法 \(\cdot\) 封闭，显然满足结合律，\([S;\cdot]\) 为半群；\(S \subseteq R\)，\(\cdot\) 关于 \(+\) 在 \(S\) 上亦满足分配律，\([S;+,\cdot]\) 为环，是 \(R\) 的子环。\(\square\)

同时暗含子环一定包含零元

证明理想/子群/子环/子域时一定要先说明非空

二、一元形式幂级数

1.一元形式幂级数：

F是域，\(F[[X]]=\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i,\forall a_i \in F\)就是F上的一元形式幂级数，它是有幺元的结合环，且乘法满足结合律

幺元：\((1,0,0,0,...)\)；\(x\)：\((0,1,0,0,...)\)，\(x^m=(0,0,0,...,1,0,0,0...)\)，1前面有m个0

可逆元\(\iff\)\(\alpha_0 \ne 0\)，也就是第一位不能为0

这里的x不是未知数，只是占位符

\(1-x=(1,-1,0,0,0...)\)

\((1-x)^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty} x^i\)

2. 多项式

有限位的一元形式幂级数

对 \(\alpha \in F^N\)，若 \(\exists m \in \mathbb{N}\)，使 \(\forall i > m\)，都有 \(\alpha_i = 0\)，则 \(\alpha\) 的非零分量只有有限个，则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的一元多项式。定义次数：\(deg=m\)

\(F[x] = \{\alpha \mid \alpha \text{ 是 } F \text{ 上的一元多项式}\}\)

特别规定\(deg(0)=-\infty\)

三、环的理想、商环

1. 理想

1.1 定义

令 \(I \subseteq R\)，若 2 个条件成立：

1. \(I\) 是 \((R,+)\) 的子群，即\(I \ne \varnothing\)且\(\forall a,b \in I,\quad a+b \in I,\quad -a \in I\)
2. 吸收律：\(\forall a \in I,\quad \forall u \in R,\quad ua \in I,\quad au \in I\)

平凡的理想：\((R,+,\cdot)\)，\(\{0\}\) 和 \(R\) 是它的理想。

理想很有可能不包含1，否则由吸收律有\(I=R\)

1.2 生成的理想

现在引进环 \(R\) 的某个生成子集合的概念。设 \(S \ne \varnothing, S \subseteq R\)，定义 \((S)\) 为满足如下条件的最小子集

（1）\(a \in S\)，则 \(a \in (S)\)

（2）\(a,b \in S\)，则 \(a-b \in (S)\)

（3）\(a \in S, r \in R\)，则 \(ar,ra \in (S)\)

称 \((S)\) 是环 \(R\) 中由 \(S\) 生成的理想。特别在 \(S=\{a\}\) 时，\(S\) 即为由 \(a\) 生成的理想，记为 \((a)\)。

1.3 思考题

思考题：

设 \(u_1,\cdots,u_m \in R\)，记\(J=\left\{\sum_{i=1}^{m} a_i u_i \mid \text{每 } a_i \in R\right\}.\)

则 \(J\) 是 \(R\) 的理想，并且对 \(R\) 中任一理想 \(I\)，只要 \(u_1,\cdots,u_m \in I\)，就有 \(J \subseteq I\)

对于含幺交换环，这就是由\(u_1,\cdots,u_m \in R\)生成的理想

2. 商环

定义：设 \((R,+,\cdot)\) 是环，\(I\) 是 \((R,+,\cdot)\) 的理想，在 \(R/I\) 上定义两个二元运算 “\(+\)”，“\(\times\)”： \(\forall a,b \in R,\quad (a+I)+(b+I)=(a+b)+I.\) \(\forall a,b \in R,\quad (a+I)\times(b+I)=ab+I.\)

则 “\(+\)” 和 “\(\times\)” 都是合理定义的，且 \((R/I,+,\times)\) 构成环，称为 \((R,+,\cdot)\) 对 \(I\) 的商环。

商环\(F[X]/I\)的幺元就是\(1+I\)

3. 多项式上理想的重要性质

定理：设 \(g \in F[x]\)，则 \(\{qg \mid q \in F[x]\}\) 是 \(F[x]\) 的理想。

定理：设\(I\) 是 \(F[x]\) 的理想，则 \(\exists g \in F[x]\)，s.t. \(I=\{qg \mid q \in F[x]\}\)。

定理：\(F[x]/I \text{ 是域 } \iff g \text{ 是 } F \text{ 的不可约多项式}\)

对任意不被 \(f(x)\) 整除的 \(g(x)\)，有 \(\gcd(g(x), f(x)) = 1\)，由裴蜀定理存在 \(u(x)g(x) + v(x)f(x) = 1\)，故在商环中 \([u(x)][g(x)] = [1]\)，即非零元素均有逆元

这个证明过程与若 \(n\) 是素数，则 \((\{0,1,\cdots,n-1\},\oplus,\odot)\) 是域的逻辑完全一样

4. 通过理想得到环同态（有限域构造）

1. 通过理想得到商环

\((F,+,\cdot)\) 域，设 \(g \ne 0\)，\(\deg(g)=m\)。

商环：\(F[x]/I=\{f+I \mid f \in F[x]\}\)\(=\{r+I \mid r \in F[x],\ \deg(r)\le m-1\}\)

对 \(\forall f \in F[x]\)，\(f+I=r+I\)，r为f对g做带余除法的余式

2.通过商环得到有限域（有限域构造）

设 \(deg(g) = m \ge 0\)，\(R = \{f \mid f \in F[x], deg(f) \le m-1\}\) 在 R 上定义二元运算 “+”，“\(\otimes\)”

• “+”：多项式加法，
• \(\otimes\)：\(f \otimes h = (fh 对 g 做带余除法的余式)\)

则\((R, +, \otimes)\) 是环，且 \(R \cong F[x]/I\)，其中 \(I = \{qg \mid q \in F[x]\}\) 具体而言，\(\psi: F[x] \rightarrow R\)，\(\psi(f) = (f 对 g 做带余除法的余式)\)

\(ker(\psi) = \{f \in F[x] \mid \psi(f) = 0\} = \{f \in F[x] \mid g \mid f\} = I\) \(Im(\psi) = R\) \(\therefore R \cong F[x]/I\) (同态定理)

有限域构造要求g为不可约多项式，否则只能得到环

例：商环构造扩域\((R\rightarrow C)\):

\(F=\mathbb{R}\)，\(g=x^2+1\)，\(I=\{(x^2+1)q \mid q \in F[x]\}\)。

将 \(f\) 对 \((x^2+1)\) 做带余除法：\(f=(x^2+1)q+ax+b\)

因为 \((x^2+1)q \in I\)，所以：\(f+I=(ax+b)+I\)

所以 \(F[x]/I\) 同构于 \((\mathbb{C},+,\cdot)\)。

这种同构可以理解为把 \(x\) 看作 \(\sqrt{-1}\)：

\((ax+b)+I \Longleftrightarrow b+a\sqrt{-1}\)

\(x+I \Longleftrightarrow \sqrt{-1}\)

3. 通过极小多项式得到域（扩域）

设 \(u\in E\) 是 \(F\) 上的代数元，\(g\) 是其极小多项式。以 \(u\) 为零点的 \(F\) 上多项式恰为 \(g\) 的倍数：

\[ \{f\in F[X]\mid f(u)=0\}=(g)=\{gh\mid h\in F[X]\} \]

定义映射：

\[ \phi:F[X]\to F(u),\quad \phi(f)=f(u) \]

则：

• \(\phi\) 是环同态。
• \(\ker(\phi)=(g)\)。
• \(\operatorname{Im}(\phi)=F(u)\)。

由环同态基本定理：

\[ F[X]/(g)\cong F(u) \]

这给出了从商环角度理解域扩张的方法：通过多项式环模掉极小多项式生成的理想，得到扩域。

代数元可以在F上，也可以不在F上。只有不在F上时，才会真正“扩域”，否则F(u)=F，并没有扩张

2和3本质上是一样的，理想都通过不可约多项式得到。并且如果这个不可约多项式在F上没有根（也就是次数大于等于2），就会真正扩域。区别在于2是凭空构造，3是站在更大的域E上进行考虑，找一个F中没有的代数元u

四、环同态、环同构、主理想环

1. 环同态

定义：设 \((R,+,\cdot)\) 和 \((S,+,\cdot)\) 是环，\(f:R \to S\)，若：

\(\forall a,b \in R\)，有 \(f(a+b)=f(a)+f(b)\)，\(f(ab)=f(a)f(b)\)，

则称 \(f\) 是环同态。

当R ′ ⊆ R时，称 R 到 R′的同态为自同态，同构为自同构。自同构的R和R’不一定相等

同态一定会把0映射到0；课上讲的同态不需要1映射到1（即使两个环都有幺元，也不一定有幺元映射到幺元：毕竟不一定满射）

2. 环同构

环同构：若 \(f\) 不仅是环同态，还是 \(R\) 到 \(S\) 的双射，则称 \(f\) 是 \((R,+,\cdot)\) 到 \((S,+,\cdot)\) 的环同构。

同态：一般指那个映射函数

同构：即指函数也指环

3. 环同态基本定理

定理：设 \((R,+,\cdot)\) 和 \((S,+,\cdot)\) 是环，\(f:R \to S\) 是环同态，则 \(\ker(f)\) 是 \((R,+,\cdot)\) 的理想。

定理：设 \((R,+,\cdot)\) 和 \((S,+,\cdot)\) 是环，\(f:R \to S\) 是环同态，记 \(I=\ker(f)\)定义 \(\varphi:R/I \to S\)：\(\forall a \in R\)，\(\varphi(a+I)=f(a)\)。

则 \(\varphi\) 是 \((R/I,+,\times)\) 到 \((S,+,\cdot)\) 的环同态，且 \(\varphi\) 是单射（\(f\) 不用是单射）。

且 \(\operatorname{Im}(\varphi)=\operatorname{Im}(f)\)。

特别地，若 \(\operatorname{Im}(f)=S\)，则 \(\varphi\) 是环同构。

无论\(f\)是否是满射，都得到了\(R/I\)到\(Im(f)\)的环同构

真正用这个定理来证明环同构的时候，往往是找到从R到S的环同态 f，然后验证理想I=ker(f)，再验证f是满射，从而得到商环R/I是环同构

4. 主理想环

取 \(\forall I\) 是 \(R\) 的理想，总存在 \(u \in R\)，s.t. \(I=Ru\)，则称 \((R,+,\cdot)\) 是主理想环。

\(F[x]\)就是主理想环

五、环的分类

对于有乘法幺元的结合环，有以下四种环：

1. 交换环：乘法满足交换律
2. 整环：只要a和b不是0，ab就不是0
3. 除环：只要a不是0，就存在非零逆元b
4. 域：交换的除环

性质：

1. 整环满足消去律
2. 除环是整环
3. 域\(\subset\)除环\(\subset\)整环（除环可以推出整环）
4. 有限整环是除环（不考，不能直接用）
5. 有限除环是域（即有限除环可以推出乘法交换律成立；不能直接用）

六、带余除法

1. 整数相关

定理：任意正整数都能写成若干素数的乘积，且此分解唯一

2. 多项式相关

I 整除

1. 整除（定义）：设 \(f,g \in F[x]\)，若 \(\exists h \in F[x]\)，s.t. \(g=fh\)，则称 \(f\) 是 \(g\) 的因式，\(g\) 是 \(f\) 的倍式，记作 \(f \mid g\)。

   整除不要求\(f\ne0\)

2. 带余除法（定理）：设 \(f \in F[x]\)，\(f \ne 0\)，\(g \in F[x]\)，则存在唯一一对 \(F[x]\) 中的多项式 \((q,r)\)，s.t. \(g=qf+r\)，且 \(\deg(r)<\deg(f)\)，\((f \mid g \Longleftrightarrow r=0)\)

   带余除法要求\(f\ne0\)

   不要限制r的次数，因为可能为0

3. 余式定理：设 \(g \in F[x]\)，\(a \in F\)，则 \(g(a)=0 \Longleftrightarrow (x-a)\mid g\)。

4. 推论：设 \(g \in F[x]\)，\(\deg(g)=n \ge 0\)，则 \(g\) 在 \(F\) 中至多有 \(n\) 个根。

5. 代数基本定理：复数域 \(\mathbb{C}\) 上的任一非零多项式，都能分解成一次因式的乘积。

II 公因式

6. 定义（公因式）：设 \(f,g \in F[x]\)，\(h \in F[x]\)。

​ 若 \(h \mid f\)，\(h \mid g\)，则称 \(h\) 是 \(f\) 和 \(g\) 的公因式。

7. 定义（最大公因式）：设 \(f,g \in F[x]\)，则 \(f\) 和 \(g\) 的最大公因式 \(h\) 定义为：

   1. 若 \(f=g=0\)，则令 \(h=0\)。

   2. 若 \(f\) 和 \(g\) 不全为 \(0\)，则 \(h\) 由下述性质确定：

      1. \(h \mid f\)，\(h \mid g\)。

      2. 对 \(f\) 和 \(g\) 的任意公因式 \(h_1\)，总有 \(h_1 \mid h\)。

      3. \(h\) 的首项系数为 \(1_F\)。若 \(\deg(h)=m\)，则 \(h_m=1_F\)。

      iii是为了与整数最大公因数的定义一样，限制其唯一性。

计算出来结果之后一定要让首项系数为1

8. 引理：设 \(f,g \in F[x]\)。

   1. \(\forall a \in F,\ a \ne 0\)：\(a \mid f\)，\(af \mid f\)，\(f \mid af\)。

   2. 若 \(f \mid g\)，\(g \mid f\)，则 \(\exists a \in F,\ a \ne 0\)，s.t. \(g=af\)。

   思路：\(\deg(fg)=\deg(f)+\deg(g)\)

9. 命题：设 \(f,g \in F[x]\)，则存在 \(u,v \in F[x]\)，s.t.

   \((uf+vg)\mid f\)，\((uf+vg)\mid g\)

10. 定理：设 \(f,g \in F[x]\)，则 \(f\) 和 \(g\) 的最大公因式存在且唯一。

    若设 \(h\) 为 \(f\) 和 \(g\) 的最大公因式，则 \(\exists u,v \in F[x]\)，s.t. \(h=uf+vg\)。

    知道结论即可，不用会证

III 不可约多项式

1. 定义（不可约多项式）：设 \(f \in F[x]\)，\(\deg(f) \ge 1\)。

   若 \(\forall h \in F[x]\)，\(h \mid f\)，总存在 \(a \in F\)，\(a \ne 0\)，s.t. \(h=a\) 或 \(h=af\)，则称 \(f\) 是 \(F\) 上的不可约多项式。

   （即对 \(\forall h \in F[x]\)，只要 \(1 \le \deg(h) \le \deg(f)-1\)，则 \(h \nmid f\)。）

2. 命题：设 \(f \in F[x]\) 是不可约多项式，\(g \in F[x]\)，则下 2 个情况之一成立：

   1. \(f \mid g\)

   2. \(\gcd(f,g)=1_F\)

3. 命题：设 \(f,g,h \in F[x]\)，\(\gcd(f,g)=1_F\)，\(f \mid gh\)，则 \(f \mid h\)。

4. 推论：设 \(f \in F[x]\) 是不可约多项式，\(g,h \in F[x]\)，\(f \mid gh\)，则 \(f \mid g\) 或 \(f \mid h\)。

5. 定理：\(F[x]\) 中任一首项系数为 \(1_F\) 的多项式都能写成若干个首项系数为 \(1_F\) 的不可约多项式之积且不计顺序，则此分解式是唯一的。

七、分式域

设 \((R, +, \cdot)\) 是交换的整环，\(1_R\) 为乘法么元，如下构造 \(R\) 的分式域：

1. 在 \(R \times (R - \{0\})\) 上如下定义等价关系 \(\sim\)： \((a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow ad = bc\)， \(\forall (a, b) \in R \times (R - \{0\})\)，记 \(\frac{a}{b} =\) \(\{ (c, d) \mid (c, d) \in R \times (R - \{0\}), (c, d) \sim (a, b) \}\)， 记 \(F = \{ \frac{a}{b} \mid a \in R, b \in R, b \ne 0 \}\)

2. 在 \(F\) 上定义加法 “\(\oplus\)” 和乘法 “\(\otimes\)” \(\frac{a}{b} \oplus \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\) ，\(\frac{a}{b} \otimes \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\) 则 \(\oplus\) 和 \(\otimes\) 都是合理定义的，并且 \((F, \oplus, \otimes)\) 都是域，其中：

   1. “\(\oplus\)” 下的幺元为 \(\frac{0}{1_R}\)
   2. “\(\otimes\)” 下的幺元为 \(\frac{1_R}{1_R}\)
   3. 对 \(a, b \in R - \{0\}\)， \(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{1_R}{1_R}\) ，即 \(\frac{a}{b}\) 与 \(\frac{b}{a}\) 互为逆元

3. 如下定义 \(\psi: R \rightarrow F\) , \(\psi(a) = \frac{a}{1_R}\) , \(\forall a \in R\). 则 \(\psi\) 是单的环同态，且 \(\psi(1_R) = \frac{1_R}{1_R}\) 此时，\(\forall a, b \in R\) , \(b \ne 0\) , \(\frac{a}{b} = \psi(a)[\psi(b)]^{-1}\) 将 \(a\) 和 \(\frac{a}{1_R}\) 等同看待：\(R \leftrightarrow \{ \frac{a}{1_R} \mid a \in R \}\)

4. 等价关系 \((a, b) \sim (c, d)\)： 若 \((a, b) \sim (c, d)\)，则 \((c, d) \sim (a, b)\)：

   若 \((a, b) \sim (c, d)\)，\((c, d) \sim (u, v)\)，则 \((a, b) \sim (u, v)\)

八、向量空间

1. 定义

\((F,+,\cdot)\) 是域，\((V,+)\) 是交换群，\(\cdot\) 是 \(F\times V\) 到 \(V\) 的映射。

\(\forall a\in F,\ v\in V\)，用 \(a\cdot v\) 表示 \((a,v)\) 在 \(\cdot\) 下的值，若下面四个性质成立：

1. \(\forall a,b\in F,\ \forall v\in V,\ (a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v\)

2. \(\forall a\in F,\ \forall v,w\in V,\ a\cdot(v+w)=a\cdot v+a\cdot w\)

3. \(\forall v\in V,\ 1_F\cdot v=v\)

4. \(\forall a,b\in F,\ \forall v\in V,\ (ab)\cdot v=a\cdot(b\cdot v)\)

则称 \(((F,+,\cdot),(V,+),\cdot)\) 是一个向量空间。

简称 \(V\) 是域 \(F\) 上的向量空间。

注：\(V\) 不一定由数构成，还可是矩阵等任意群元素。

若 \(E\) 作为 \(F\) 上的向量空间是有限维的，则维数记为 \([E:F]\) 或 \(\dim_F(E)\)。

2. 结论

命题：

1. \(\forall v\in V,\ 0_F\cdot v=0_V\)

2. \(\forall a\in F,\ a\cdot 0_V=0_V\)

3. 设 \(a\in F,\ a\neq 0,\ v,w\in V\)，则 \(w=a\cdot v \Longleftrightarrow v=a^{-1}\cdot w\)

3. 定义（线性相关、线性无关、基）

定义（线性相关、线性无关）：设 \(v_1,v_2,\cdots,v_n\) 是 \(V\) 中的一些元素。

1. 若存在 \(F\) 中不全为 \(0\) 的元素 \(a_1,\cdots,a_n\)，s.t.

   \[ \sum_{i=1}^{n} a_i v_i=0 \]

   则称 \(v_1,\cdots,v_n\) 在 \(F\) 上线性相关。

2. 若对任意一组 \(F\) 中不全为 \(0\) 的元素 \((a_1,\cdots,a_n)\)，总有

   \[ \sum_{i=1}^{n} a_i v_i\neq 0 \]

   则称 \(v_1,\cdots,v_n\) 在 \(F\) 上线性无关。

默认空集是线性无关的

定义（基）：设 \(S\subseteq V\)，若下面两个条件成立：

1. \(S\) 中任何有限个两两不同的元素 \(v_1,\cdots,v_n\) 都在 \(F\) 上线性无关。

2. \(\forall w\in V,\ \exists v_1,\cdots,v_n\in S\)，和 \(a_1,\cdots,a_n\in F\)，s.t.

   \[ w=\sum_{i=1}^{n} a_i v_i \]

则称 \(S\) 是 \(V\) 的一组基。

4. 构造基

任意向量空间总有基。有限空间的基构造方法：

1. 取 \(v_1\neq 0\)

2. 取 \(v_2\in V\)，\(v_2\neq av_1\ (\forall a\in F)\)

3. 取 \(v_3\in V\)，\(v_3\) 不能写成 \(v_1\) 和 \(v_2\) 的线性组合

   \(\cdots\)

可知 \(\mathbb{R}\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上也作为向量空间。

5. 定理：

命题：设 \(v_1,v_2,\cdots,v_n\) 和 \(w_1,w_2,\cdots,w_{n+1}\) 是 \(V\) 中的两组元素，若每个 \(w_i\) 都能写成 \(v_1,v_2,\cdots,v_n\) 在 \(F\) 上的线性组合：

\[ w_i=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}v_j,\quad a_{ij}\in F \]

则 \(w_1,\cdots,w_{n+1}\) 在 \(F\) 上线性相关。（典型的使用归纳法证明）

推论：设 \(S_1\) 和 \(S_2\) 是 \(V\) 的两组基，\(|S_1|=n\)，则 \(|S_2|=n\)，此时记 \(\dim_F(V)=n\)。

6. 定义（极大无关组）

定义：设 \(S\) 是 \(V\) 的有限子集，\(A\subseteq S\)，记 \(A=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}\)。

若：

1. \(v_1,v_2,\cdots,v_m\) 在 \(F\) 上线性无关；

2. \(\forall w\in S\)，\(w\) 可写成 \(v_1,\cdots,v_m\) 的线性组合，即存在 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\in F\)，s.t.

   \[ w=\sum_{i=1}^{m} a_i v_i \]

则称 \(A\) 为 \(S\) 的一个极大无关组。

2. 例题

2.1 设 \(|F|=q,\ 1\le m\le n\)，求 \(M_{m,n}(F)\) 中秩为 \(m\) 的矩阵的个数。

第一行：非 \(0\)，有 \(q^n-1\) 种。

第二行：不能是第一行的线性组合，有 \(q^n-q\) 种。

\(\cdots\)

设前 \(k-1\) 行已确定，设为 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_{k-1}\)，且 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_{k-1}\) 线性无关。

确定第 \(k\) 行：不能是前 \(k-1\) 行的线性组合，即不在

\[ \left\{\sum_{i=1}^{k-1} a_i\alpha_i \mid \text{每个 } a_i\in F\right\} \]

中。

\(\alpha_1,\cdots,\alpha_{k-1}\) 线性无关，共有 \(q^{k-1}\) 个线性组合。

\(\Rightarrow\) 第 \(k\) 行有 \(q^n-q^{k-1}\) 种选择。

因此矩阵个数为

\[ (q^n-1)(q^n-q)\cdots(q^n-q^{m-1}) \]

\[ =\prod_{k=1}^{m}(q^n-q^{k-1}) \]

\[ =\prod_{i=0}^{m-1}(q^n-q^i) \]

2.2 \(F^n\) 有多少个 \(m\) 维子空间？(\(0 \le m \le n\))，\(|F|=q\)

\(\begin{aligned} \begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q &= \frac{M_{m,n}(F) 中秩为 m 的矩阵个数}{F 中 m 阶可逆方阵的个数} \\ &\text{即找 m 个基向量，除以其线性变换的可能性} \\ &= \frac{\prod_{i=0}^{m-1}(q^n - q^i)}{\prod_{i=0}^{m-1}(q^m - q^i)} \\ &= \frac{(q^0 \cdot q^1 \cdot \dots \cdot q^{m-1}) \prod_{i=n-m+1}^{n}(q^i - 1)}{(q^0 \cdot q^1 \cdot \dots \cdot q^{m-1}) \prod_{i=1}^{m}(q^i - 1)} \\ &= \frac{\prod_{i=1}^{n}(q^i - 1)}{\prod_{i=1}^{m}(q^i - 1) \cdot \prod_{i=1}^{n-m}(q^i - 1)} \end{aligned}\)

类似 \(C(n,m) = \frac{n!}{m!(n-m)!}\) 且 \(\lim_{q \rightarrow 1^+} \begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q = C(n,m)\) 因为：\(\lim_{q \rightarrow 1^+} \frac{q^i - 1}{q - 1} = \lim_{q \rightarrow 1^+} (1 + q + q^2 + \dots + q^{i-1}) = i\)

九、子域

定义（子域）：设 \((E, +, \cdot)\) 是域，\(F \subseteq E\)， 若下面四个条件成立： (1) \(0 \in F\)，\(1_E \in F\) (2) \(\forall a, b \in F\)，\(a+b \in F\)，\(-a \in F\) (3) \(ab \in F\) (4) \(\forall a \in F\)，\(a \ne 0\)，有 \(a^{-1} \in F\) （\(F\) 是子域 \(\Leftrightarrow (F, +, \cdot)\) 做成域）

\((F, +, \cdot)\) 做成域一定有F包含0和1（0f+0f=0f，同时减去0f；**1f*1f=1f，移项+整环性质**）

也就是只要证明0和1在里面；加法是子群（封闭+逆元），乘法满足封闭性，每个非零元素都有乘法逆元

结论：若 \(E\) 是域，\(F\subseteq E\) 是子域，则 \(E\) 做成 \(F\) 上的向量空间

十、代数元、超越元

1. 定义

代数元，超越元：设 E 是域，\(F \subseteq E\) 是子域，\(u \in E\)

1. 若存在 \(f \in F[x]\)，\(f \ne 0\)，（即 \(F[x]\) 上的一个非零多项式） s.t. \(f(u) = 0\)，则称\(u\) 是 F 上的代数元 （即 u 是 f 的根）
2. 若对任意 \(F[x]\) 中的非 0 多项式 f，总有 \(f(u) \ne 0\)， 则称 u 是 F 上的超越元

性质：对于超越元\(u\)，\(f(u)=0 \iff f=0\)

2. 域扩张

\(E\)：域，\(F \subseteq E\) 是子域，\(u \in E\)。\(E\) 中包含 \(F\) 和 \(u\) 的最小子域，记为 \(F(u)\)

有 \(F(u) = \{ f(u)g(u)^{-1} \mid f, g \in F[x], g(u) \neq 0 \}\) \[= \left\{ \frac{f(u)}{g(u)} \;\middle|\; f, g \in F[x], g(u) \neq 0 \right\}\]

F(u)是一系列值，不再是多项式

定理：设 \(E\) 是域，\(F\) 是 \(E\) 的子域，\(u \in E\) 是 \(F\) 上的超越元，则：

1. \(F(u) = \{ f(u)g(u)^{-1} \mid f, g \in F[x], g \neq 0 \}\)

2. 设 \(f_1, f_2, g_1, g_2 \in F[x], g_1 \neq 0, g_2 \neq 0\)，则：

\[f_1(u)g_1(u)^{-1} = f_2(u)g_2(u)^{-1} \iff f_1g_2 = f_2g_1\]

定理：\(u\) 是 \(F\) 上的代数元，记 \(I = \{ f \mid f \in F[x], f(u) = 0 \}\)， 则 \(I\) 是 \(F[x]\) 的理想

定理：命题：设 \(u\in E\) 是 \(F\) 上的代数元，\(g\in F[x]\) 是 \(u\) 在 \(F\) 上的极小多项式，\(\deg(g)=m>=1\)。

则：

1. \(F(u)=\{r(u)\mid r\in F[x],\ \deg(r)\le m-1\}\)

2. 设 \(r_1,r_2\in F[x]\)，\(\deg(r_1)\le m-1\)，\(\deg(r_2)\le m-1\)，且 \(r_1(u)=r_2(u)\)，则 \(r_1=r_2\)。

3. \(F(u)\) 做成 \(F\) 上的线性空间，是 \(m\) 维的，且

   \[ \{1,u,\cdots,u^{m-1}\} \]

   构成一组基。

十一、极小多项式

定义：极小多项式：\(E\) 是域，\(F\) 是 \(E\) 的子域，\(u\in E\) 是 \(F\) 上的代数元。

\(g\in F[x]\) 满足：

1. \(g(u)=0,\ g\neq 0\)

2. \(g\) 的首项系数为 \(1\)

3. \(\forall f\in F[x]\)，若 \(f(u)=0\)，且 \(f\neq 0\)，则

   \[ \deg(g)\le \deg(f) \]

则称 \(g\) 是 \(u\) 在 \(F\) 上的极小多项式。

命题：设 \(u\in E\) 是 \(F\) 上的代数元，\(g\in F[x]\) 是 \(u\) 在 \(F\) 上的极小多项式，则：

1. \(g\) 是 \(F\) 上的不可约多项式。

2. \(\forall f\in F[x]\)，\(f(u)=0 \Longleftrightarrow g\mid f\)。

3. 设 \(h\in F[x]\) 是 \(F\) 上首项系数为 \(1\) 的不可约多项式，且 \(h(u)=0\)，则 \(g=h\)。

命题：设 \(u\in E\) 是 \(F\) 上的代数元，\(g\in F[x]\) 是 \(u\) 在 \(F\) 上的极小多项式， \[ I=\{f\mid f\in F[x],\ f(u)=0\} \]

则：

1. \(I=\{qg\mid q\in F[x]\}\)。

2. 如下定义 \(\varphi:F[x]\to F[u]\)，\(\forall f\in F[x]\)，\(\varphi(f)=f(u)\)，则 \(\varphi\) 是环同态，\(\ker(\varphi)=I,\ \operatorname{Im}(\varphi)=F(u)\)，从而有环同构

   \[ F[x]/I \cong F(u) \]

作业题

0. 特殊符号

1. P(S) 表示集合 S 的所有子集组成的集合，叫做 幂集

2. \(Z_n\) 表示整数模 n 的剩余类环，需要注意只包含正数，尤其是辗转相除中

3. 对称差是两个集合之间的一种运算，通常记作 \(A \oplus B\) 或 \(A \triangle B\)。

   它的定义是： \[A \oplus B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\] 也可以写成： \[A \oplus B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\] 意思是：只属于其中一个集合，而不同时属于两个集合的元素组成的集合。

4. 幂集的乘法一般是交集

1. 不同构证明

证明同构通常靠构造；证明不同构通常靠找“不变量”。

所谓“不变量”就是：如果两个结构同构，那么某些性质必须一样。比如群里常用元素阶；环里常用：

• 有没有乘法单位元；
• 元素个数、单位元、零因子、幂零元、幂等元、特征、理想结构、可逆元个数、元素阶

这题第二问最方便的不变量是：有没有乘法单位元。

2. 找出全部同态（同构）映射

• 环自身的性质：加法循环群；实数与虚数互相不互通

  这些性质都有关键元素，针对这些关键元素下手往往比较有效

  循环群：生成元

  实数：1；虚数：\(i\)

• 同态的性质：加法和乘法先算与后算相同，得到两个等式，可以解方程

  \(f(x+y)=f(x)+f(y)\)

  \(f(xy)=f(x)f(y)\)

• 相较于同态的额外性质：

  比如满射

3. 因子分解

首先看是不是域，如果是域的话，所有数都有逆元，因此可以提取公因式，使得最终只用保留首一多项式即可。

因此，遇到一个式子，不是首一的先提取首项系数，然后“不妨设”首一。

当然，首先验证(x-a)是不是因子，这是最基本的

4. 证明xxx是xxx集合

要反应过来这是证明两个集合相等，直接证明互相包含

5. 整环

整环不保证有乘法逆元，所以要从头到尾避免负指数的出现

6. 单位

指的是有乘法逆元的元素

7. 判断是否是可约多项式

例 14.15 讨论商环 \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1)\) 是否为域。

由定理 14.17 知 \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1)\) 是域，因为 \(0,1,2 \in \mathbb{Z}_3\) 皆非多项式 \(x^2+1\) 的根，\(x^2+1\) 在 \(\mathbb{Z}_3\) 上是不可约的。

\[ \begin{aligned} \mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) &=\{(x^2+1)+ax+b \mid a,b \in \mathbb{Z}_3\} \\ &=\{0,\ 1,\ 2,\ x,\ 2x,\ x+1,\ 2x+1,\ x+2,\ 2x+2\} \end{aligned} \]

共有 9 个元素，后一等式写法省略了 \((x^2+1)\)。今后常以这种简化的方式写商域中的元素。 所以直接说不是根就可以，不用从一次式开始写的那么全。不要太纠结过程细节

“公因式包含一次项等价于\(f(x)\)在F上有根”，可以这么写

8.若 \(n\) 是素数，则 \((\{0,1,\cdots,n-1\},\oplus,\odot)\) 是域

这是一个讲过的例题。不过很好证明，就是每个元素都可逆

\(\forall a \in \{1,2,\cdots,n-1\}\)，有 \(\gcd(n,a)=1\)

\(\therefore \exists u,v \in \mathbb{Z}\)，使 \(ua+vn=1\)

\(\therefore ua \equiv 1 \pmod n\)

\((u \bmod n)a \equiv 1 \pmod n\)

\(\Rightarrow (u \bmod n)\otimes a = 1\)

9. 费马小定理

在 \(\mathbb{Z}_p\)（其中 \(p\) 为素数）中，对于任意元素 \(a \in \mathbb{Z}_p\)，都有：\(a^p = a\)

（在初等数论中，我们通常把它写成同余的形式：\(a^p \equiv a \pmod p\)）

推论：

• 求逆元：\(a^{p-1} = 1\)

• 对于任意一个含有 \(q = p^n\) 个元素的有限域，其中的任意元素 \(\alpha\)，都满足：

  \(\alpha^q = \alpha\)（这个推论没讲过也没证明过）

10. 幂等元、恒等元

设 \(e\) 是环 \(R\) 中元素，若 \(e^2=e\)，称 \(e\) 是幂等元。

恒等元就是乘法幺元

11. 理想的运算

• \(I+J = \{ i+j \mid i \in I, j \in J \}\)

• \[IJ = \left\{ \sum_{k=1}^n i_k j_k \;\middle|\; i_k \in I, j_k \in J, n \in \mathbb{N} \right\}\]

  也就是有限项\(ij\)相加

• \[I^k = \left\{ \sum_{m=1}^n x_{m,1} x_{m,2} \dots x_{m,k} \;\middle|\; n \in \mathbb{N}^+, \text{ 且所有的 } x_{m,j} \in I \right\}\]

  也就是有限项\(iiiii···i\)（k个\(i\)）相加

• \(I\),\(J\)互素指的是\(I+J=R\)

  这意味着必然存在某个 \(i \in I\) 和某个 \(j \in J\)，使得：\(i + j = 1\)

• \[a \equiv b \pmod I \iff a - b \in I\]

12. 矩阵相关：

1. \(A\) 可逆 \(\Longleftrightarrow \det(A)\neq 0 \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A)=n\)

2. 记 \(A\) 的 \(m\) 个行为 \(a_1,a_2,\cdots,a_m\in F^n\)。则 \(\operatorname{rank}(A)=\{a_1,\cdots,a_m\}\) 中极大无关组的元素个数

3. 定理：存在 \(m\) 阶可逆阵 \(P\) 和 \(n\) 阶可逆阵 \(Q\)，s.t. \[ PAQ= \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]

   \(\operatorname{rank}(A)=r\)。

4. \[\det(A) = \sum_{\varepsilon \in S_n} (-1)^{N(\varepsilon)} \prod_{i=1}^n a_{\varepsilon(i), i}\]

   \(S_n\) 装着 \(n\) 个数字所有的排列组合方式。一共有 \(n!\)（\(n\) 的阶乘）种可能。

   \(\varepsilon\) 代表集合 \(S_n\) 里的某一个具体的排列。比如此时 \(\varepsilon\) 可能就是 312。

   \(\varepsilon(i)\) 代表这个排列里的第 \(i\) 个数字。

   \(N(\varepsilon)\)指的是排列的逆序对

13. 有限域的阶（不可直接用）

有限域的阶一定是素数的幂次\(p^n\)，且一定包含一个\(p\)个元素的子域

14. F[x]上的裴蜀定理（可以直接用）

F[x]上的互素很强，因为可以带入任何数，且仍然等于1：

\(\gcd(g, \varphi) = 1\)（极小多项式不可约，所以和它互素），由裴蜀定理（Bezout’s Identity）保证了存在多项式 \(v(x)\) 和 \(w(x)\)，使得：\(v(x)g(x) + w(x)\varphi(x) = 1\) 优点：你可以把任何数带入进去

裴蜀定理还可以这样用：若m，n互素，则\(x^1=x^{um+vn}\)，也就是“1的妙用”

15. 找不可约多项式

笔记上半部分的公式是：

\[x^{2^m} - x = \prod_{f \in T} f\]

其中 \(T = \{ f \in F_2[x] \mid f \text{在} F_2 \text{上不可约}, \deg(f) \mid m \}\)

这到底在说什么？

假设我们在最简单的底层域 \(F_2 = \{0, 1\}\) 上玩耍。这个公式是一个极其暴力的“全家桶”定理：

它说，如果你把 \(x^{2^m} - x\) 这个多项式进行彻底的因式分解，它拆解出来的所有碎片（因子），恰好包含了所有次数能整除 \(m\) 的不可约多项式，而且每个只出现一次！

• 举个例子： 假设 \(m=2\)。那么 \(x^{2^2} - x = x^4 - x\)。

  能整除 2 的次数有 1 和 2。

  所以在 \(F_2\) 上，次数为 1 的不可约多项式有：\(x\) 和 \(x-1\)（即 \(x+1\)）。

  次数为 2 的不可约多项式有：\(x^2+x+1\)。

  你把它们乘起来：\(x(x+1)(x^2+x+1) = x^4 + x^3 + x^2 + x^3 + x^2 + x = x^4 + x = x^4 - x\) （在 \(F_2\) 里加法就是减法）。完美吻合！

这有什么“意义”？

它的意义是“提供保底”。我们之前知道，要构造 \(2^m\) 个元素的有限域，必须得找一个 \(m\) 次的不可约多项式来做“商环”。

但万一 \(m\) 次的不可约多项式不存在怎么办？这个公式从理论上向数学家保证：别怕，它一定存在！ 所有的不可约多项式都在 \(x^{2^m} - x\) 的肚子里，只要去里面挖，一定能挖出来。

把2替换成任意素数p，结论仍然成立

\[x^{p^m} - x = \prod_{f \in T} f\]

其中 \(T = \{ f \in \mathbb{Z}_p[x] \mid f \text{ 在 } \mathbb{Z}_p \text{ 上首一且不可约}, \deg(f) \mid m \}\)

16. 如果一个多项式次数是 2 或 3，且没有零点，那它必定不可约

这个应该可以直接用，不过稍微证明一下应该也不麻烦

3. 素数阶群有什么性质？

素数阶群是一类结构非常简单且有着极强性质的群。设群 \(G\) 的阶数 \(|G| = p\)，其中 \(p\) 是素数，它必定具有以下性质：

• 必定是循环群： 任何素数阶的群都同构于模 \(p\) 的整数加法群，即 \(G \cong \mathbb{Z}_p\)。
• 全是生成元： 在 \(G\) 中，除了单位元 \(e\) 之外，任何一个非单位元都可以作为生成元生成整个群 \(G\)。
• 必定是阿贝尔群（交换群）： 因为所有的循环群都是交换群。
• 没有非平凡子群： 根据拉格朗日定理，子群的阶必定整除群的阶。因为素数 \(p\) 的正因数只有 1 和 \(p\)，所以素数阶群只有两个子群：只包含单位元的平凡子群 \(\{e\}\)，以及它自身 \(G\)。没有其他任何真子群。

4.多项式：

\((1-X)^{-1}=(1,1,1,\cdots)=\sum_{i=0}^{\infty}X^i\)

上半学期

15. gcd

1. 若 \(a \mid bc\)，则 \(\frac{a}{\gcd(a,b)} \mid c\)

2. 有限阶元素 \(a\)，\(|a|=n\)，即 \(o(a)=\operatorname{ord}(a)\)，则

\[ \langle a^k\rangle=\langle a^{\gcd(n,k)}\rangle \]

\[ |a^k|=\frac{n}{\gcd(n,k)} \]

16. 欧拉公式

若 \(N=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}\)（素因子分解）

则

\[ \varphi(N)=N\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p_m}\right) \]

17. 费马小定理

推论：有限群 \(G\)，\(a\in G\)，则 \(a\) 是有限阶元，且 \(|a|\mid |G|\)

由 \(|H|\mid |G|\)（\(H=\langle a\rangle\)）可证。

\[ \Rightarrow \quad a^{|G|}=e \]

推论：费马小定理：设 \(p\) 是素数，\(1\le a\le p-1\)，则

\[ a^{p-1}\equiv 1 \pmod p \qquad \]

18. Sylow第三定理

Sylow：\(|G|=n\)，\(p\) 为素数，\(a\in N,\) \(p^a\mid n\)

设 \((G,*)\) 有 \(s\) 个阶为 \(p^a\) 的子群，则

\[ s\equiv 1 \pmod p \]

什么是 Sylow \(p\)-子群？

假设我们有一个有限群 \(G\)，它的阶（元素个数）是 \(|G|\)。

现在，我们把 \(|G|\) 进行质因数分解。假设 \(p\) 是一个质数，我们可以把 \(|G|\) 写成：

\[|G| = p^\alpha \cdot m\]

其中，\(p^\alpha\) 是能整除 \(|G|\) 的 \(p\) 的最高次幂，这就意味着 \(m\) 不能再被 \(p\) 整除（即 \(p\) 和 \(m\) 互质）。

定义：

如果群 \(G\) 的某一个子群 \(H\)，它的阶数刚好等于 \(p^\alpha\)（即 \(|H| = p^\alpha\)），那么我们就称 \(H\) 为群 \(G\) 的一个 Sylow \(p\)-子群。

19. 轨道-稳定子定理

稳定子群：\(A\subseteq G,\quad\)称\(H=\operatorname{stab}(A)=\{g\mid g\in G,\ gA=A\}\)为 \(A\) 在 \(G\) 中的稳定子群，且 \(\left|\{gA\mid g\in G\}\right|=\frac{|G|}{|\operatorname{stab}(A)|}=\frac{|G|}{|H|}=H\)的左陪集的个数}

若 \(g\in G\)，则 \(gA\in H\) 的左陪集}。令 \(g=kh\)，有\(gA=khA=kA\)

---

性质：记 \(H=\operatorname{stab}(A)\)，则 1）\(H\) 是 \(G\) 的子群 2）\(A\) 是 \(G\) 的子群 \(\Longleftrightarrow A=H\)

若 \(xA=A\)，\(A\) 是子群，则有 \(x\in A\)

因为

\[ xA=\{xa\mid a\in A\} \]

而 \(e\in A\)，\(\therefore\ xe\in xA\)，\(\therefore\ x\in xA=A\)。

3）\(A=HA=\bigcup_{a\in A}Ha\) 4）设 \(x,y\in G\)，则 \[ xA=yA \Longleftrightarrow xH=yH \Longleftrightarrow x^{-1}y\in H \]

\[ x^{-1}yA=A \quad \therefore\quad x^{-1}y\in H \Longleftrightarrow xH=yH \]

\[ xH=\{xh\mid h\in H\} \]

---

个人理解：稳定群是对 \(A\)（\(A\)不需要是子群） 施加的“无效操作”：若操作 \(x\) 和 \(y\) 对 \(A\) 施加作用结果相同，则 \(x\) 和 \(y\) 一定来自 \(H\) 的同一个左陪集。

对 \(A\) 不变子群：\(H\)的每个左陪集对应\(A\) 被\(G\)作用后的一个全新状态,即轨道\(\operatorname{orb}(A)\)

而拉格朗日定理即\(\frac{|G|}{|H|}\)为整数，这个整数值就是 \(A\) 的状态个数 \(\operatorname{orb}(A)\)。

\[ \therefore\ |G| = |\operatorname{Orb}(A)|\times |\operatorname{stab}(A)| \]

其中：

\[ |\operatorname{Orb}(A)|: A\text{ 变化后的状态数} \]

\[ |\operatorname{stab}(A)|: \text{让 }A\text{ 不变的操作个数} \]

因此，轨道-稳定子定理是对拉格朗日定理的一种“延伸”。

---

共轭类：若 \(\exists\ g\in G\) 使 \(gxg^{-1}=y\)，则 \(x,y\) 共轭，\(x,y\) 归同个共轭类。

每个元素一定只属于一个共轭类

共轭类大小 \(= [G: C_G(x)]\)，即\(x\)的中心化子的陪集数量；即共轭类中任意一个陪集，这个陪集中的任意元素共轭x得到的结果相同

\(C_G(x) = \{ g \in G \mid gx = xg \}\)，中心化子，只针对\(x\)

中心 \(Z(G)\)（针对整个群）： 它是能和群里所有人交换位置的元素的集合。

可以得到类方程：

\[|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^m [G : C_G(x_i)]\]

中心里的每一个元素都对应一个大小为1的共轭类；对于大小大于1的共轭类，从中挑出一个代表元，加起来，即可得到全部元素

m是共轭类的总个数

20. 置换

对称群\(S_n\)：S上的所有置换组成的集合，阶为\(n!\)

置换：S上的一一变换

置换群：构成群的置换，显然是对称群的子群

对换：长度为2的循环置换（轮换）

21. 整环常常通过相减提取公因式=0来证明两个东西相等

22. 期中考结论

设 \((S,*)\) 是一个半群。证明：若 \((S,*)\) 满足以下两条性质，则 \((S,*)\) 为群：

性质 1：\(\forall a,b\in S,\ \exists x\in S\)，使得 \(a*x=b\)

性质 2：\(\forall a,b\in S,\ \exists y\in S\)，使得 \(y*a=b\)

设 \(G\) 是群，定义 \(G\) 的中心 \[ Z(G)=\{x\mid x\in G,\ \forall y\in G:xy=yx\} \]

定义 \(G\) 的换位子群

\[ [G,G]=\langle \{a^{-1}b^{-1}ab\mid a,b\in G\}\rangle \]

1. 证明：\(Z(G)\) 是 \(G\) 的正规子群。（本小问 4 分）

2. 证明：若 \(G/Z(G)\) 是循环群，则 \(G\) 是交换群。（本小问 6 分）

3. 设 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群，证明：\(G/H\) 是交换群当且仅当 \([G,G]\subseteq H\)。（本小问 4 分）

命题一：有限半群 ＋ 消去律 \(\Rightarrow\) 群

核心思路：利用“有限集合上的单射必然是满射”这一性质，证明方程可解，从而转化为我们上一个话题中提到的群的等价定义二。

(注：必须强调“有限”，无限半群如正整数加法集，有消去律但不是群)

证明过程：

设 \(G\) 是一个有限半群，设其包含 \(n\) 个元素，即 \(G = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}\)。

已知 \(G\) 满足结合律，且满足左消去律和右消去律。

1. 构造映射： 任取 \(G\) 中固定元素 \(a\)，构造一个左乘映射 \(L_a: G \to G\)，定义为 \(L_a(x) = ax\)。
2. 证明单射： 假设对于 \(G\) 中的元素 \(x_i, x_j\)，有 \(L_a(x_i) = L_a(x_j)\)，即 \(ax_i = ax_j\)。由于 \(G\) 满足左消去律，立刻可得 \(x_i = x_j\)。这说明映射 \(L_a\) 是一个单射。
3. 单射 \(\Rightarrow\) 满射： 因为 \(G\) 是一个有限集，有限集到自身的单射必定也是满射。
4. 方程有解： 满射意味着，对于 \(G\) 中的任意元素 \(b\)，必定存在某个 \(x \in G\)，使得 \(L_a(x) = b\)，即方程 \(ax = b\) 在 \(G\) 中有解。
5. 同理，利用右消去律，构造右乘映射 \(R_a(y) = ya\)，可证得方程 \(ya = b\) 在 \(G\) 中也有解。
6. 结论： 根据群的等价定义（半群且方程 \(ax=b\) 和 \(ya=b\) 均有解），\(G\) 是一个群。证毕。

命题三：\(G\) 是有限群，且 \(|G|\) 是素数 \(\Rightarrow\) \(G\) 是循环群 \(\Rightarrow\) \(G\) 是交换群

核心思路：前半部分利用代数中的大杀器拉格朗日定理（Lagrange’s Theorem）；后半部分利用循环群可以用生成元的幂次表示来证明交换律。

证明过程：

设群 \(G\) 的阶 \(|G| = p\)，\(p\) 为素数。

第一部分：证明 \(G\) 是循环群

1. 因为 \(p \ge 2\)，所以 \(G\) 中至少存在一个非单位元的元素，设为 \(a\)（即 \(a \neq e\)）。
2. 考虑由 \(a\) 生成的循环子群 \(\langle a \rangle = \{a, a^2, a^3, \dots \}\)。
3. 根据拉格朗日定理，有限群的子群的阶必须整除该群的阶。即 \(|\langle a \rangle|\) 必须整除 \(|G|\)（也就是 \(p\)）。
4. 因为 \(p\) 是素数，它的正因数只有 \(1\) 和 \(p\)。所以 \(|\langle a \rangle|\) 只能是 \(1\) 或 \(p\)。
5. 因为 \(a \neq e\)，所以这个子群里至少包含了 \(e\) 和 \(a\) 两个元素，即 \(|\langle a \rangle| > 1\)。
6. 因此，必定有 \(|\langle a \rangle| = p\)。
7. 由于子群 \(\langle a \rangle\) 和母群 \(G\) 阶数相同，且包含于 \(G\)，所以只能是 \(\langle a \rangle = G\)。这就证明了 \(G\) 是由 \(a\) 生成的循环群。

第二部分：证明 \(G\) 是交换群（阿贝尔群）

1. 由第一部分可知，\(G\) 是循环群，设生成元为 \(g\)，即 \(G = \langle g \rangle\)。

2. 任取 \(G\) 中的两个元素 \(x\) 和 \(y\)。因为它们都在循环群中，所以必定存在整数 \(m\) 和 \(n\)，使得 \(x = g^m\)，\(y = g^n\)。

3. 计算两者的乘积：

   \[xy = g^m \cdot g^n = g^{m+n}\]

   \[yx = g^n \cdot g^m = g^{n+m}\]

4. 因为整数加法满足交换律（\(m+n = n+m\)），所以 \(g^{m+n} = g^{n+m}\)。

5. 因此 \(xy = yx\) 对于群中任意两个元素都成立。这就证明了 \(G\) 是交换群。证毕。

命题二：\(R\) 是整环 \(\Rightarrow\) \(R \setminus \{0\}\) 是有消去律的半群

核心思路：整环的核心性质是没有零因子。笔记图片上的括号里其实已经给出了证明的骨架，只需将其用严密的语言组织起来。

证明过程：

已知 \(R\) 是整环，设 \(S = R \setminus \{0\}\)（即去掉了零元的集合）。我们需要证明 \(S\) 在乘法下构成半群，且有消去律。

1. 证明是半群（封闭性与结合律）：

   • 封闭性：任取 \(a, b \in S\)，则 \(a \neq 0\) 且 \(b \neq 0\)。因为 \(R\) 是整环（无零因子），所以 \(ab \neq 0\)。因此 \(ab \in S\)。
   • 结合律：因为 \(R\) 是环，环的乘法自然满足结合律，所以 \(S\) 也满足。
   • 至此证明了 \(S\) 是半群。

2. 证明满足消去律：

   任取 \(a, b, c \in S\)，假设 \(ab = ac\)。

   • 由环的分配律，等式可化为 \(ab - ac = 0\)，即 \(a(b - c) = 0\)。
   • 因为 \(a \in S\)，所以 \(a \neq 0\)。
   • 又因为 \(R\) 是整环，无零因子，两个元素的乘积为 \(0\) 且其中一个不为 \(0\)，则另一个必为 \(0\)。因此必然有 \(b - c = 0\)。
   • 由此推得 \(b = c\)。
   • 这证明了左消去律成立。（同理，因为整环是交换环，右消去律也自然成立）。

3. 结论： \(R \setminus \{0\}\) 是一个有消去律的半群。证毕。

消去律一定要排除掉0

\((R,+,\cdot)\) 是交换环（结合、有幺）

1. 设 \(u\in R\)，则 \(Ru=\{bu\mid b\in R\}\) 是 \(R\) 的理想，\(u\in Ru\)

\[ \because\ 1_R\in R \qquad u=1_Ru\in Ru \]

\[ \forall a,b\in R.\quad au+bu=(a+b)u. \]

\[ -au=(-a)u \]

\[ \forall c\in Ru.\quad \forall d\in R \qquad dc=cd\in Ru \]

\[ \left( \begin{aligned} &c=bu\quad b\in R\\ &dc=d(bu)\\ &\phantom{dc}=(db)u\in Ru \end{aligned} \right) \]

Z. 做题思路

证明题：

如果是从1到n，往往使用归纳法

否则可以使用反证法

对于极大/极小的题目，可以直接断言，然后证明

涉及到元素的阶，大概率会使用裴蜀定理替换1

涉及到理想，基本都会用群/环同态定理

gcd直接想怎么用裴蜀

其他

有限会带来哪些性质：

• 一个从有限集到自身的单射必定也是满射

有限往往不是罗列元素，而是利用满射来将一个性质应用到所有元素上

Burnside定理：设 \(p\) 和 \(q\) 是不同素数，\(a,b \ge 1\)。有限群 \(G\) 的阶为 \(p^a q^b\)，则 \(G\) 有不等于 \(\{1_G\}\) 和 \(G\) 的正规子群

艾森斯坦判别法判断Q上多项式是否可约

我们将 \(f(x)\) 写成标准形式：\(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\)。

在这个构造中：

• 最高次项系数 \(a_n = 1\)
• 中间各项系数 \(a_{n-1} = a_{n-2} = \dots = a_1 = 0\)
• 常数项 \(a_0 = -p\)

根据艾森斯坦判别法，只要我们选定的素数 \(p\) 满足以下三个条件，那么多项式 \(f(x)\) 在有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上就必定是不可约的：

1. 素数 \(p\) 不整除最高次项系数： 显然 \(p\) 不能整除 \(1\)。
2. 素数 \(p\) 整除其余所有的系数： 中间项系数都是 \(0\)（\(0\) 能被任何素数整除），常数项是 \(-p\)（显然能被 \(p\) 整除）。本条件满足。
3. 素数 \(p\) 的平方不整除常数项： 常数项是 \(-p\)，它的因子只包含一个 \(p\)，所以它不能被 \(p^2\) 整除。本条件满足。